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    设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线l：相切．过定点M（0，2）的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设直线l1的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由；
    （Ⅲ）若实数λ满足，求λ的取值范围．

    【答案】分析：（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；
    （II）由（I）知设l1的方程为y=kx+2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标表示即可求得满足题意的点P且m的取值范围．
    （Ⅲ）先分两种情况讨论：①当直线l1斜率存在时，设直线l1方程为y=kx+2，代入椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标表示即可求得满足题意的λ的取值范围；②又当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=0，同样利用向量的坐标运算求λ的取值范围．
    解答：解：（Ⅰ）因为，
    所以F1为F2Q中点．
    设Q的坐标为（-3c，0），
    因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，
    且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（-c，0），半径为2c．（2分）
    因为该圆与直线l相切，所以．
    解得c=1，所以a=2，．
    故所求椭圆方程为．（4分）
    （Ⅱ）设l1的方程为y=kx+2（k＞0），
    由得（3+4k2）x2+16kx+4=0．
    设G（x1，y1），H（x2，y2），则．（5分）
    所以=（x1+x2-2m，y1+y2）．
    =（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4）．
    由于菱形对角线互相垂直，则．（6分）
    所以（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0．
    故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0．
    因为k＞0，所以x2-x1≠0．
    所以（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0
    即（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0．
    所以
    解得．即．
    因为k＞0，所以．
    故存在满足题意的点P且m的取值范围是．（8分）
    （Ⅲ）①当直线l1斜率存在时，
    设直线l1方程为y=kx+2，代入椭圆方程
    得（3+4k2）x2+16kx+4=0．
    由△＞0，得．（9分）
    设G（x1，y1），H（x2，y2），
    则，．
    又，所以（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2）．所以x1=λx2．（10分）
    所以x1+x2=（1+λ）x2，x1x2=λx22．
    所以．将上式代入整理得：
    ．（11分）
    因为，所以．即．
    所以．
    解得．
    又0＜λ＜1，所以．（13分）
    ②又当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=0，
    此时，，，，，所以．所以，即所求λ的取值范围是．（14分）
    点评：当直线与圆锥曲线相交时   涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化   同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
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    设椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，，，则C的离心率为(   )

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    设椭圆C：（a>b>0）过点（0,4），离心率为

    （1）   求C的方程。

    （2）   求过点（3,0）且斜率为 的直线被椭圆C所截线段的中点坐标。

     

     

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    设椭圆C：（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为，
    （Ⅰ）求C的方程；
    （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标。

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    设椭圆C：（a＞b＞0） 的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，
    (Ⅰ)求椭圆C的离心率；
    (Ⅱ)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程：
    (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P(m，0)使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

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    （1）求椭圆C的轨迹方程；
    （2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（），求证：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
    （3）对于问题（2），如果点M坐标为M（t，0），当t满足什么条件时，点M（t，0）存在无穷多条“相关弦”，并判断点M的所有“相关弦”的中点是否在同一条直线上．

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