Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．

Answer 1

解：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，
∴PA∥EO
而EO平面EDB且PA平面EDB，
所以，PA∥平面EDB
（2）证明： ∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，
∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC．①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC．而DE平面PDC，
∴BC⊥DE．②
由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB平面PBC，
∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，
所以PB⊥平面EFD．
（3）解：由（2）知，PB⊥DF，
故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．
设正方形ABCD的边长为a， 则
，
．
在Rt△PDB中，．
在Rt△EFD中，，
∴．
所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．