Question

已知函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N*)，若存在正整数k满足：f（1）•f（2）•f（3）•…•f（n）=k，那么我们把k叫做关于n的“对整数”，则当n∈[1，10]时，“对整数”共有（　　）

A．1个

B．2个

C．4个

D．8个

Answer 1

分析：由题意，f（x）=log_（x+1） （x+2）=

lg(x+2)

lg(x+1)

，再计算f（1）f（2）f（3）…f（x）=log₂（x+2），根据1≤x≤100，得log₂3≤log₂（x+2）≤log₂12，从而可得“对整数”的个数．

解答：解：由题意，根据换底公式得，f（x）=log_（x+1） （x+2）=

lg(x+2)

lg(x+1)

，
所以k=f（1）f（2）f（3）…f（x）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(x+2)

lg(x+1)

=

lg(x+2)

lg2

=log₂（x+2）．
∵1≤x≤10，∴log₂3≤log₂（x+2）≤log₂12
整数有log₂4，log₂8，即2，3，两个整数．
故选：B．

点评：本题的考点排列、组合的实际应用，主要考查新定义，考查对数运算，属于基础题．