Question

已知函数f（x）=xⁿ，其中n∈Z，n≥2．曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））（x₀＞0）处的切线为l，l与x轴交于点Q，与y轴交于点R，则

|PQ|

|PR|

=（　　）

• A．

  1

  n-1

• B．

  1

  n

• C．

  2

  n-1

• D．

  2

  n

Answer 1

分析：先利用导数求出切线的斜率，从而求出切线方程，然后根据切线与x轴的交点Q的坐标，利用相似三角形可得

|PQ|

|PR|

．

解答：解：由题可得f′（x）=nx^n-1．
所以曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线方程是：y-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀）．
即y-x₀ⁿ=nx₀^n-1（x-x₀）．
令y=0，得-x₀ⁿ=nx₀^n-1（x-x₀）．
x₀＞0，
∴x=x₀-

x0

n

，得l与x轴交点Q（x₀-

x0

n

，0），如图．
则

|PQ|

|PR|

=

|PA|

|PB|

=

|x0- x0 n -x0|

|x0|

=

1

n

．
故选B．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力和分析问题的能力，属于基础题．