Question

【题目】已知圆M过A（-4，0），B（1，5），C（6，0）三点．

（Ⅰ）求圆M的方程

（Ⅱ）若直线ax-y+5=0（a＞0）与圆M相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得弦PQ的垂直平分线l过点E（-2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x2+y2-2x-24=0；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）设出圆的一般方程，代入三点坐标，联立方程组求解；

（Ⅱ）假设符合条件的实数a存在，由a＞0，可得直线l的斜率，进一步得到直线l的方程，根据直线l垂直平分弦PQ，得到圆心M必然在直线l上，把M的坐标代入直线l方程中，得到关于a的方程，可得a，把求出的a的值代入确定出直线l的方程，经过检验发现直线ax-y+5=0与圆有两个交点，故存在．

解：（Ⅰ）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则，解得D=-2，E=0，F=-24．

∴圆M的方程为x2+y2-2x-24=0；

（Ⅱ）设符合条件的实数a存在，

∵a＞0，则直线l的斜率为-，l的方程为y=-（x+2）+4，即x+ay+2-4a=0．

由于l垂直平分弦PQ，故圆心M（1，0）必在l上．

∴1+0+2-4a=0，解得a=．

经检验a=时，直线ax-y+5=0与圆有两个交点，

故存在实数a=，使得弦PQ的垂直平分线l过点E（-2，4）．