Question

【题目】已知函数在点M(1,f(1))处的切线方程为

求（1）实数a,b的值；

（2）函数的单调区间及在区间[0,3]上的最值.

Answer 1

【答案】(1)a=b=4(2)4，

【解析】试题分析：（1）根据切线方程求出切线的斜率，可得到切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值与斜率关系，即可列方程求出的值；（2）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值，比较极值与区间端点值的函数值可求解闭区间的函数的最值.

试题解析：（1）因为在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10=0，

所以切线斜率是k=﹣3

且9×1+3f（1）﹣10=0，

求得，即点又函数，则f′（x）=x2﹣a所以依题意得解得

（2）由（1）知

所以f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2）令f′（x）=0，解得x=2或x=﹣2

当f′（x）＞0x＞2或x＜﹣2；当f′（x）＜0﹣2＜x＜2

所以函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，2），（2，+∞）

单调递减区间是（﹣2，2）又x∈[0，3]

所以当x变化时，f（x）和f′（x）变化情况如下表：

X	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		﹣	0	+	0
f（x）	4	↘	极小值	↗	1

所以当x∈[0，3]时，f（x）max=f（0）=4，