Question

【题目】设函数， .

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）如果不等式对于一切的恒成立，求的取值范围；

（3）证明：不等式对于一切的恒成立.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）当时， ，利用导函数研究函数的切线方程可得在点处的切线方程为；

（2）原问题等价于恒成立.构造函数， ，则，结合函数的单调性可得，故的取值范围是；

（3）原问题等价于.构造函数，则.结合(2)的结论可知.故，从而有对于一切的恒成立.

试题解析：

（1）当时， ，则，故，切线方程为： ；

（2）因为，所以恒成立，等价于恒成立.

设， ，得，

当时，，所以　在上单调递减，

所以　时，.

因为恒成立，所以；

（3）当时， ，等价于.

设，.求导，得.

由（2）可知，时， 恒成立.

所以时， ，有，所以.

所以在上单调递增，当时，.

因此当时， .