Question

【题目】定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（2x）=x2-2x．

（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；

（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=在（1，4）上有实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）=（log2x）2-2log2x，x＞0（Ⅱ）-≤a＜-

【解析】

（Ⅰ）令t=2x，则x=log2t，代入函数f（x），即可得到所求解析式；

（Ⅱ）运用配方，求得函数f（x）的值域，再由分式不等式的解法，可得所求范围．

解：（Ⅰ）令t=2x，则x=log2t，

由f（2x）=x2-2x得f（t）=（log2t）2-2log2t，

即f（x）=（log2x）2-2log2x，x＞0；

（Ⅱ）f（x）=（log2x）2-2log2x=（log2x-1）2-1=，

由x∈（1，4），可得log2x∈（0，2），（log2x-1）2-1∈[-1，0），

即-1≤＜0，

即为≥0且a＞5或a＜-，

解得-≤a＜-．