Question

【题目】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为　　

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．

设C（m，n），由重心坐标公式得，

三角形ABC的重心为（，），

代入欧拉线方程得：2＝0，

整理得：m﹣n+4＝0 ①

AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，

AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0．

联立，解得．

∴△ABC的外心为（﹣1，1）．

则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，

整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②

联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4．

当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．

∴顶点C的坐标是（﹣4，0）．

故选：A．