Question

【题目】已知函数f（x）=lg（ax-bx）（a＞1＞b＞0）．

（Ⅰ）求f（x）的定义域；

（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，f（x）的值域为（0，+∞），且f（2）=lg2，求实数a、b的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（0，+∞）（Ⅱ）a=，b=

【解析】

（Ⅰ）由ax﹣bx＞0，（a＞1＞b＞0）得，由此求得f（x）的定义域；

（Ⅱ）令g（x）＝ax﹣bx，可得x∈（1，+∞）时，g（x）＞1．由g（1）＝1，可得a﹣b＝1 ①，又f（2）＝lg2，故a2﹣b2＝2 ②，由①②求得a、b的值．

解：（Ⅰ）由ax-bx＞0，得ax＞bx，

即，

∵a＞1＞b＞0，∴，则x＞0．

∴f（x）的定义域为（0，+∞）；

（Ⅱ）令g（x）=ax-bx，

∵a＞1＞b＞0，∴g（x）在（ 0，+∞）上为增函数．

由当x∈（1，+∞）时，f（x）的值域为（0，+∞），可得x∈（1，+∞）时，g（x）＞1，

∴g（1）=1，可得a-b=1 ①，

又f（2）=lg2，∴a2-b2=2 ②，

联立①②得：a=，b=．