Question

【题目】已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，总有．

（1）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；

（2）解不等式：；

（3）若f（x）≤m2-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，其中p∈[-1，1]（p是常数），试用常数p表示实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在上是增函数，证明如下：

任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数

（2）．

（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即成立．

①当时，的取值范围为；

②当时，的取值范围为；

③当时，的取值范围为R．

【解析】

（1）在上是增函数，证明如下：

任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数

（2）由在上是增函数知：

，

故不等式的解集为．

（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即成立．

①当时，的取值范围为；

②当时，的取值范围为；

③当时，的取值范围为R．