Question

【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，点E、F分别在CD、AB上，且EF⊥CD，BE⊥BC，BC=1，CE=2．现将矩形ADEF沿EF折起，使平面ADEF与平面EFBC垂直（如图2）．

（1）求证：CD∥面ABF；
（2）当AF的长为何值时，二面角A﹣BC﹣F的大小为30°．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CE∥BF，CE面ABF，BF面ABF，

∴CE∥面ABF，

又DE∥AF，DE面ABF，AF面ABF，

∴DE∥面ABF，

∵DE∩CE=E，且DE、CE面CDE，

∴面CDE∥面ABF，

又CD面CDE，∴CD∥面ABF．

（2）解：过F作CB的垂线，交CB的延长线于H点，连结AH，

∵面ADEF⊥面EFBC，AF⊥EF，

∴AF⊥面EFBC，CB面EFBC，

∴CB⊥AF，CB⊥面AF，

∴AH⊥CH，

∴∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角，

∴∠AHF=30°，

∵BC=1，CE=2，且BE⊥BC，∴∠BCE=60°，

在直线梯形EFBC中，BF=2﹣cos60°= ，

∴FH= = ，

在直角三角形AHF中，AF=FH ．

【解析】（1）推导出CE∥面ABF，DE∥面ABF，由此能证明面CDE∥面ABF，从而CD∥面ABF．（2）过F作CB的垂线，交CB的延长线于H点，连结AH，推导出∠AHF是二面角A﹣BC﹣F的平面角，由此能求出AF的长．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．