Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin（A﹣B）+sinC= sinA．
（1）求角B的值；
（2）若b=2，求a2+c2的最大值，并求取得最大值时角A，C的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，∵由已知及C=π﹣（A+B）可得：

sin（A﹣B）+sinC=sin（A﹣B）+sin（A+B）

=sinAcosB﹣cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB

=2sinAcosB= sinA…3分

∵A是三角形的内角，sinA≠0，

∴cosB=

∴由B∈（0，π），可得B=

（2）解：∵由余弦定理可得：a2+c2﹣ ac=4，且ac≤ ，

∴4=a2+c2﹣ ac≥（a2+c2）﹣ （a2+c2）=（1﹣ ）（a2+c2），

∴a2+c2≤ =8 （当且仅当a=c时，等号成立），

∴当A=C= 时，a2+c2的最大值是8

【解析】（1）由已知及三角形内角和定理，两角和与差的正弦函数公式化简可得2sinAcosB= sinA，由于sinA≠0，即可解得cosB的值，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（2）由余弦定理及基本不等式可得：a2+c2﹣ ac=4，且ac≤ ，从而可得4≥（1﹣ ）（a2+c2），即可解得a2+c2的最大值．
【考点精析】利用正弦定理的定义和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．