Question

已知函数f（x）=log₂（x+m），且f（0），f（2），f（6）成等差数列．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试比较f（a）+f（c）与2f（b）的大小．

Answer 1

分析：（1）把x=0，2，6代入函数解析式，表示出f（0），f（2），f（6），由f（0），f（2），f（6）成等差数列，根据等差数列的性质列出关系式，利用对数的运算法则化简后，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）把x=a，c及b分别代入函数解析式表示出f（a）+f（c）及f（b），根据a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到关系式b²=ac，先表示出两真数之差（a+2）（c+2）-（b+2）²，利用多项式的乘法法则及完全平方公式化简后把b²=ac代入，再利用基本不等式求出a+c的最小值，判断出差大于0，进而得到（a+2）（c+2）与（b+2）²的大小，根据对数函数的底数2大于1，对数函数为增函数，可判断出f（a）+f（c）与2f（b）的大小．

解答：解：（1）由f（0），f（2），f（6）成等差数列，
得2log₂（2+m）=log₂m+log₂（6+m），（2分）
即 （m+2）²=m（m+6）（m＞0），∴m=2（5分）
（2）f（a）+f（c）=log₂（a+2）（c+2），2f（b）=log₂（b+2）²（7分）
∵b²=ac，
∴（a+2）（c+2）-（b+2）²=2（a+c）-4b（9分）
∵a+c＞2

ac

=2b(a≠c)，
∴2（a+c）-4b＞0（11分）
∴log₂（a+2）（c+2）＞log₂（b+2）²，
则f（a）+f（c）＞2f（b）．（12分）

点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的性质，对数函数的单调性及特殊点，熟练掌握性质是解本题的关键，本题的第二问是利用作差的方法来比较大小的，注意此方法的运用．