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    已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°．
    （Ⅰ）求对角线AC1的长．
    （Ⅱ）求直线BD1和AC的夹角．
    分析：（Ⅰ）直接根据向量的加法把所求问题分解，再平方计算出模长的平方，进而求出结论；
    （Ⅱ）先把两个向量转化，并分别求出模长以及其数量积，再代入向量的夹角计算公式即可．
    解答：解：（Ⅰ）因为
    AC1
    =
    AA 1
    +
    A 1B1
    +
    B1C1
    ；
    ∴
    AC 1
    2    =（
    AA 1
    +
    A 1B1
    +
    B1C1
    ）2
    =
    AA 1
    2    +
    A1B1
    2    +
    B 1C1
    2    +2
    AA 1
    •
    A 1B1
    +2
    AA 1
    •
    B 1C1
    +2
    A 1B1
    •
    B1C1

    =b2+a2+a2+2abcos120°+2abcos120°+2a•acos90°
    =b2+2a2-2ab．
    ∴AC1=
    		b2+2a 2-2ab
    ．
    （Ⅱ）∵
    AC
    =
    AB
    +
    BC
    ，
    D1B
    =
    D1A1
    +
    A1B1
    +
    B1B
    ；
    ∴|
    AC
    |=
    		(
    AB
    +
    BC
    )   2
    =
    AB
    2    +
    BC
    2    +2
    AB
    •
    BC
    =
    		a2+a2+2a 2cos90°
    =
    		2
    a；
    |
    D1B
    |=
    		(
    D1A
    +
    A1B 1
    +
    B1B
    )    2

    =
    D1A
    2    +
    A1B1 
    2    +
    B1B
    2    +2
    D1A
    •
    A1B1
    +2
    D1A
    •
    B1B
    +2
    A1B1
    •
    B1B
     

    =
    		a2+b2+a2+2abcos60°+2a 2cos90°+2abcos120°
    =
    		2a2+b2
    ．
    AC
     •
    D1B
    =（
    AB
    +
    BC
    ）•（
    D1A1
    +
    A1B1
    +
    B1B
    ）
    =
    AB
    •
    D1A1
    +
    AB
    •
    A1B1
    +
    AB
    •
    B1B
    +
    BC
    •
    D1A1
    +
    BC
    •
    A1B1
    +
    BC
    •
    B1B
    =ab；
    ∴cos＜
    D1B
    ，
    AC
    ＞    =
    ab
    		2
    a•
    		2a2+b2
    =
    b
    		4a2+2b2
    ．
    所以直线BD1和AC的夹角为：arccos
    b
    		4a2+2b2
    点评：本题主要考察异面直线所成的角以及两点间的距离计算．注意在利用向量求两直线的夹角时，要的是小于等于90度的角，避免出错．
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    （1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
    （2）若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，问F在何处时，EF⊥AD？

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    如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1．
    （I）若G为△ABC的重心，
    A1M
    =3
    MG
    ，设
    AB
    =a，
    AD
    =b，
    AA1
    =c    ，用向量a、b、c表示向量
    A1M
    ；
    （II）若平行六面体ABCD-A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1=O，求证；OE⊥平面ABC1D1．

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    如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1．
    （I）若G为△ABC的重心，数学公式，设数学公式，用向量a、b、c表示向量数学公式；
    （II）若平行六面体ABCD-A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1=O，求证；OE⊥平面ABC1D1．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年安徽省芜湖一中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    如图，已知平行六面体ABC-A1B1C1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影为O．
    （1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
    （2）若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，问F在何处时，EF⊥AD？

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