Question

（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为的中点，为的中点，且．

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）求四棱锥的体积．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）3

【解析】

试题分析：（1）证明：△ADE是等边三角形，M是DE的中点

AM⊥DE，， 1分

在△DMC中，DM＝1，∠CDM＝60°，CD＝4，

2分

在△AMC中， 3分

AM⊥MC 4分

MC∩DE＝M，MC平面BCD，DE平面BCD，

AM⊥平面BCD 5分

AM平面ADE，

平面ADE⊥平面BCD 6分

（2）证法一：分别取AD，DC的中点G、N，连接FG，GE，FN，NB．

∵AC＝DC，F、N分别是AC、DC的中点，

∴FN∥AD且，∴FN∥GD且FN＝GD，

∴四边形DNFG是平行四边形，

∴FG∥DN且FN＝DN， 7分

点N是DC的中点，∴BC＝NC，

又∠BCN＝60°，∴△BCN是等边三角形，∴∠CBN＝∠CDE＝60°，

BN∥DE且BN＝DE，

∴四变形EBND是平行四边形，

∴DN∥EB且DN＝EB， 8分

∴FB∥GE且FB＝GE， 9分

又FB平面ADE，GE平面ADE， 10分

∴FB∥平面ADE． 11分

证法二：取DC的中点N，连接FN，NB．

∵AC＝DC，F、N分别是AC、DC的中点，

∴FN∥AD．

又FN平面ADE，AD平面ADE，

∴FN∥平面ADE． 7分

∵点N是DC的中点，∴BC＝NC，

又∠BCN＝60°，∴△BCN是等边三角形，∴∠CBN＝∠CDE＝60°，

BN∥DE，

又BN平面ADE，ED平面ADE，∴BN∥平面ADE． 8分

∵FN∩BN＝N， 9分

∴平面ADE∥平面FNB， 10分

∵FB平面FNB，∴FB∥平面ADE． 11分

（3）过点B作BH⊥NC于H，则

12分

由（2）知四边形EBND是平行四边形，∴EB＝ND＝2，

∴底面等腰梯形BCDE的面积， 13分

∴四棱锥A-BCDE的体积 14分

考点：考查了平面与平面垂直和直线与平面平行的判定，锥体的体积．