Question

已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且

(AB)2

=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

．
（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件

(AB)2

=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，化简可得

CA

•

CB

=0．从而△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．哟与t=sinA+sinB=

2

sin（A+

π

4

），A∈（0，

π

2

），故可求sinA+sinB的取值范围为(1，

2

]
（Ⅱ）条件a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，分离参数可得

a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

abc

≥k，从而问题转化为求

a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

abc

的最小值，构造函数f（t）=

a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

abc

=t+

1+t

t2-1 2

=t+

2

t-1

=t-1+

2

t-1

+1．从而问题可解．

解答：解：（Ⅰ）∵

(AB)2

=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，
∴

(AB)2

=

AB

(

AC

+

CB

)  +

CA

•

CB

，即

AB2

=

AB

•

AB

+

CA

•

CB

，即

CA

•

CB

=0．
∴△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），A∈（0，

π

2

），
∴sinA+sinB的取值范围为(1，

2

]．-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．
若a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
则有

a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

abc

≥k，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
∵

a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

abc

=

1

c3sinAcosA

[c²sin²A（ccosA+c）+c²cos²A（csinA+c）+c²（csinA+ccosA）]
=

1

sinAcosA

[sin²AcosA+cos²A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+

1+cosA+sinA

sinAcosA

令t=sinA+cosA，t∈(1，

2

]，-----------------------------------------（10分）
设f（t）=

a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

abc

=t+

1+t

t2-1 2

=t+

2

t-1

=t-1+

2

t-1

+1．
f（t）=t-1+

2

t-1

+1，当t-1∈(0，

2

-1]时 f（t）为单调递减函数，
∴当t=

2

时取得最小值，最小值为2+3

2

，即k≤2+3

2

．
∴k的取值范围为（-∞，2+3

2

]．--------------------------（14分）

点评：本题主要考查三角形形状的判断，考查不等式恒成立问题，有一定的综合性．