Question

已知△ABC中，a=2

3

，若

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)满足

m

•

n

=

1

2

．（1）若△ABC的面积S=

3

，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

m

和

n

的坐标，及

m

•

n

=

1

2

，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用二倍角的余弦函数公式化简，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再由a的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，整理后记作①，由三角形的面积及sinA的值，利用三角形的面积公式求出bc的值，把bc的值代入①即可求出b+c的值；
（2）把（1）得到的关系式①配方变形后，根据完全平方式大于等于0，变形后得出b+c小于等于4，再利用三角形的两边之和小于第三边得到b+c大于a，由a的值得出b+c的范围，最后由b+c的两区间求出公共部分，即可得到b+c的取值范围．

解答：解：（1）∵

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且

m

•

n

=

1

2

，
∴-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，即cosA=-

1

2

，
又A为三角形的内角，
∴A=120°，又a=2

3

，
由余弦定理得：b2+c2-2bc(-

1

2

)=(2

3

)2，即（b+c）²-bc=12①，
又S=

1

2

bcsinA=

3

，sinA=

3

2

，
∴bc=4，
将bc=4代入①得：b+c=4；
（2）由（1）得到的（b+c）²-bc=12变形得：

3

4

（b+c）²+

1

4

（b-c）²=12，
即

3

4

（b+c）²=12-

1

4

（b-c）²≤12，
∴（b+c）²≤16，即b+c≤4，
又b+c＞a=2

3

，
则b+c的取值范围是（2

3

，4]．

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式，完全平方公式的运用，以及三角形的边角关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．