Question

12．已知函数f（x）=e^x-x²，g（x）=ax+b（a＞0），若对?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a，b的取值范围是（　　）

• A． 0＜a≤$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≥1
• B． 0＜a≤$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≤1
• C． a≥$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≥1
• D． a≥$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≤1

Answer 1

分析 对?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），等价于x∈[0，2]时f（x）的值域为g（x）值域的子集，利用单调性求得两函数的值域，由集合的包含关系可得不等式，解出即可．

解答 解：因为f′（x）=e^x-2x，
令y=e^x-2x，可得y′=e^x-2，令e^x-2=0，解得x=ln2，
y=e^x-2x的最小值为：2^ln2-2ln2=2-2ln2＞0
可得f′（x）=e^x-2x＞0，所以f（x）在[0，2]上递增，
所以x∈[0，2]时，f（0）≤f（x）≤f（2），即1≤f（x）≤e²-2，
由a＞0得g（x）=ax+b在[0，2]上递增，
所以x∈[0，2]时，g（0）≤g（x）≤g（2），即b≤g（x）≤2a+b，
又对?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），
所以有[1，e²-4]⊆[b，2a+b]，则$\left\{\begin{array}{l}b≤1\\ 2a+b＞{e}^{2}-4\end{array}\right.$，
由e²-4-2a≤b≤1得，a≥$\frac{{e}^{2}-5}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数单调性的应用，考查恒成立问题，本题中对恒成立问题的等价转化是解决问题的关键．