Question

已知定义在R的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），下面四种说法
①f（3）=1；
②函数f（x）在[-6，-2]上是增函数；
③函数f（x）关于直线x=4对称；
④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和为-8，
其中正确的序号

①④

．

Answer 1

分析：取x=1，得f（-3）=-f（1）=1，再由函数为奇函数，可得f（3）的值，判断①；
由f（x-4）=f（-x）可得f（x-2）=f（-x-2），结合奇函数利用函数f（x）关于直线x=-2对称，进而根据函数图象的对称性，可分析出（4，0）点为对称中心，从而判断②；
结合f（x）为奇函数且f（x），及x∈[0，2]时，函数的解析式，结合对数函数的单调性，复合函数的单调性，及奇函数在对称区间上单调性相同，函数在对称轴两侧单调性相反，可判断出函数f（x）在[-6，-2]上的单调性，进而判断③；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．

解答：解：取x=1，得f（1-4）=f（-3）=-f（1）=-log₂（1+1）=-1，所以f（3）=-f（-3）=1，故①正确；
定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），则f（x-4）=f（-x），
∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函数f（x）关于直线x=-2对称，
由于函数对称中心原点（0，0）的对称点为（4，0），故函数f（x）也关于（4，0）点对称，故③不正确；
∵x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1）为增函数，
由奇函数在对称区间上单调性相同可得，x∈[-2，0]时，函数为单调增函数，
∴x∈[-2，2]时，函数为单调增函数，
∵函数f（x）关于直线x=-2对称，∴函数f（x）在[-6，-2]上是减函数，故②不正确；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为-8．故④正确
故答案为：①④

点评：本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．