Question

1．已知函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{x（1+λx）}{1+x}$．若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值．

Answer 1

分析 由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值．

解答 解：由已知，f（0）=0，f′（x）=$\frac{（1-2λ）x-{λx}^{2}}{{（1+x）}^{2}}$，且f′（0）=0，
若λ＜$\frac{1}{2}$，则当0＜x＜2（1-2λ）时，f′（x）＞0，所以当0＜x＜2（1-2λ）时，f（x）＞0，
若λ≥$\frac{1}{2}$，则当x≥0时，f′（x）≤0，所以当x≥0时，f（x）≤0，
综上，λ的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．