Question

已知函数f(x)=1+lo

g

x 2

，x∈[

1

64

，16]，令g（x）=[f（x）]²+f（x²）+p，p为常数．
（Ⅰ）若g（x）的最大值为13，求p的值；
（Ⅱ）函数g（x）是否存在大于1的零点？若存在，求出实数p的取值范围，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）设函数g（x）有两个互异的零点α，β，求p的取值范围，并求α•β的值．

Answer 1

分析：此题考查对数函数与二次函数的复合，关键写出g（x），在利用与二次函数的复合，求解最值

解答：（Ⅰ）g（x）=[f（x）]²+f（x²）+p=(log2x)2+4log2x+p+2，
令t=log₂x，x∈[

1

16

，16]，
∴t∈[-6，4]
则g（x）=h（t）=t²+4t+p+2
∴在t=4时，取得最大值，所以34+p=13
∴p=-21
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若g（x）存在大于1的零点，即h（t）在t∈（0，4]时有零点
h（t）表示的二次函数开口向上，对称轴t=-2，所以若h（t）在t∈（0，4]时有零点，即h（0）＜0，且h（4）≥0
∴

p+2＜0 34+p≥0

∴即p的取值范围为[-34，-2）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，g（x）有两个相异的零点，h（t）在t∈[-6，4]时有两个相异零点，h（t）表示的二次函数开口向上，对称轴t₀=-2
∴

h(-2)＜0 h(-6)≥0

即p的取值范围为[-14，2），
此时，方程h（t）=t²+4t+p+2的两根t₁+t₂=-4
即log₂α+log₂β=-4
∴αβ=

1

16

点评：此题考查对数函数和二次函数的复合问题，关键在于理解二次函数对称轴，最值．