Question

（2009•大连二模）选修4-1：几何证明选讲
已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）设AB=2R，求证：AD•OC=2R²．

Answer 1

分析：（I）连接OD，由半径OD=OA，可得∠OAD=∠ODA；利用平行线的性质OC∥AD，可得∠OAD=∠BOC，进而得到∠DOC=∠ODA．利用三角形全等的判定定理即可得到△DOC≌△BOC．可得∠ODC=∠OBC．利用圆的切线的判定定理即可证明；
（II）连接BD，可证明△ADB∽△OBC．利用相似三角形的性质即可得出．

解答：证明：（Ⅰ）连接OD，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，
∵OC∥AD，∴∠OAD=∠BOC，∠DOC=∠ODA．
∴∠DOC=∠BOC，∵OD=OB，OC=OC，
∴△DOC≌△BOC．∴∠ODC=∠OBC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，
∴DC是⊙O的切线．
（Ⅱ）连接BD，∵AB是⊙0的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBC=∠ADB．
∵∠OAD=∠BOC．∴△ADB∽△OBC．∴

AD

OB

=

AB

OC

，
∴AD•OC=AB•OB=2R²．

点评：熟练掌握圆的性质、平行线的性质、全等三角形与相似三角形的判定及其性质定理、圆的切线的性质是解题的关键．