Question

已知定义在R上的奇函数f（x），定义域上是减函数，且f（x²-a）+f（x-2a）＞0．
（1）当x=1时，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[-1，2]时，不等式f（x²-a）+f（x-2a）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用定义在R上的奇函数f（x），定义域上是减函数，将不等式化为具体不等式，即可求实数a的取值范围；
（2）分离参数求最值，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵定义在R上的奇函数f（x），且f（x²-a）+f（x-2a）＞0
∴f（x²-a）＞f（2a-x）
∵函数f（x）是定义域上的减函数，
∴x²-a＜2a-x
∵x=1，
∴1-a＜2a-1，即a＞

2

3

；
（2）由（1）知，3a＞x²+x
∵x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

，x∈[-1，2]
∴x=2时，（x²+x）_max=6
∵当x∈[-1，2]时，不等式f（x²-a）+f（x-2a）＞0恒成立，
∴a＞2．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的结合，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．