Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）把函数f（x）图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位，得到函数y=g（x）图象，当x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]时，求函数y=g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由图得到A及周期，进一步得到ω，再由f（$\frac{2}{3}$）=2求得φ，则函数解析式可求；
（2）利用函数的图象平移求得g（x）的解析式，再由x的范围求得函数y=g（x）的值域．

解答 解：（1）由图，得A=2，$\frac{T}{4}=\frac{2}{3}-（-\frac{1}{3}）=1$，得T=4，则$ω=\frac{π}{2}$，
∴$f（x）=2sin（\frac{π}{2}x+φ）$，
由$f（\frac{2}{3}）=2sin$（$\frac{π}{2}×\frac{2}{3}$+φ）=2，得sin（$\frac{π}{3}+$φ）=1，
∴$\frac{π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，即φ=$\frac{π}{6}+2kπ$，（k∈Z），
又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（$\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}$；
（2）y=g（x）=2sin[$\frac{π}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（$\frac{π}{2}x-\frac{π}{12}$），
∵x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]，故$\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}x-\frac{π}{12}≤\frac{7π}{6}$，则$-\frac{1}{2}≤sin（\frac{π}{2}x-\frac{π}{12}）≤1$，即-1≤f（x）≤2，
∴函数y=g（x）的值域为[-1，2]．

点评 本题考查与y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．