Question

二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x²-a²x，若g（x）在区间（-3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可设f（x）=ax（x-1）（a≠0），又由最小值是-

1

4

，联合解之即可；
（2）表示出g（x），求导数，令导函数小于0得到函数的单调减区间，让区间（-3，2）为函数的单调递减区间的子集即可．

解答：解：（1）由二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0．设f（x）=ax（x-1）（a≠0），
则f(x)=ax2-ax=a( x-

1

2

 )2-

a

4

．
又f（x）的最小值是-

1

4

，故

-a

4

=-

1

4

．解得a=1．
∴f（x）=x²-x；                                   …（4分）
（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x²-a²x=x³-x²+ax²+x²-a²x=x³+ax²-a²x．
∴g'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a）．　　　　　　…（6分）
由g'（x）=0，得x=

a

3

，或x=-a，又a≠0，故

a

3

≠-a．…（7分）
当

a

3

＞-a，即a＞0时，由g'（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

．    …（8分）
∴g（x）的减区间是( -a ， 

a

3

 )，又g（x）在区间（-3，2）上单调递减，
∴

-a≤-3 a 3 ≥2

，解得

a≥3 a≥6

，故a≥6（满足a＞0）；          …（10分）
当

a

3

＜-a，即a＜0时，由g'（x）＜0，得

a

3

＜x＜-a．
∴g（x）的减区间是( 

a

3

 ， -a )，又g（x）在区间（-3，2）上单调递减，
∴

a 3 ≤-3 -a≥2

，解得

a≤-9 a≤-2

，故a≤-9（满足a＜0）．       …（13分）
综上所述得a≤-9，或a≥6．
∴实数a的取值范围为（-∞，-9]∪[6，+∞）．                …（14分）

点评：本题考查二次函数的性质，涉及函数由函数的导数来研究单调性问题，属中档题．