精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
对非零实数x,y,z,定义运算“⊕”满足:(1)x⊕x=1;(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)•z.若f(x)=e2x⊕ex-ex⊕e2x,则下列判断正确的是(  )
A、f(x)是增函数又是奇函数B、f(x)是减函数又是奇函数C、f(x)是增函数又是偶函数D、f(x)是减函数又是偶函数
考点:函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断,指数函数综合题
专题:新定义,函数的性质及应用
分析:理解新定义的含义,求出f(x)的解析式,再判定各选项是否正确即可.
解答:解:根据题意,∵x⊕(y⊕z)=(x⊕y)•z,
∴令x=y=z,则x⊕(x⊕x)=(x⊕x)•x,
又∵x⊕x=1,
∴x⊕1=x;
又∵x⊕(y⊕z)=(x⊕y)•z,
∴令y=z,则x⊕(y⊕y)=(x⊕y)•y,
∴(x⊕y)•y=x⊕1=x,
∴x⊕y=
x
y

∴f(x)=e2x⊕ex-ex⊕e2x
=
e2x
ex
-
ex
e2x

=ex-e-x
∴f(x)的定义域是R,
且f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数;
又∵y=ex是增函数,∴y=e-x是减函数,
∴y=-e-x是增函数,
∴f(x)=ex-e-x是R上的增函数;
∴f(x)是奇函数也是增函数;
故选:A.
点评:本题考查了求新定义的函数的解析式问题,解题时应理解题意,求出f(x)的解析式,再判定各选项是否正确.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合A={1,2z2,zi},B={2,4},i为虚数单位,若A∩B={2},则纯虚数z为(  )
A、iB、-iC、2iD、-2i

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知全集为R,集合A={y|y=2x},B={x|log2x>0},则(  )
A、A∪B=RB、A∩B=AC、A∪(∁RB)=RD、(∁RA)∪B=R

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在同一直角坐标系中,函数y=ax2-x+
a
2
与y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的图象不可能的是(  )
A、
B、
C、
D、

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=f(x),y=g(x)的图象如图所示,则函数y=g[|f(x)|]的大致图象是(  )
A、B、C、D、

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

函数f(x)=log 
1
2
(x2-4)的单调递增区间为(  )
A、(0,+∞)
B、(-∞,0)
C、(2,+∞)
D、(-∞,-2)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

下列函数中图象关于原点中心对称的是(  )
A、y=x2+1B、y=x,x∈(-1,1]C、y=x3D、y=x+1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

函数y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过点(  )
A、(1,2)B、(2,2)C、(2,3)D、(4,4)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
|lnx|,0<x≤e
2-lnx,x>e
,若f(a)=1,则a的所有可能结果之和为(  )
A、e
B、
1
e
C、e+
1
e
D、2e+
1
e

查看答案和解析>>

同步练习册答案