Question

已知直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1有A、B两个不同的交点．
（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；
（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称？试述理由．

Answer 1

分析：（1）因为以AB为直径的圆恰好过原点O，所以AO⊥BO，把直线y=kx+1代入双曲线3x²-y²=1，利用向量垂直的充要条件去解．即可求出k的值．
（2）先假设存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称，根据两点关于直线对称的方法，找到关于k的方程，解k，若能解出，则存在，如解不出，则不存在．

解答：解：（1）设A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），则以AB为直径的圆恰好过原点O的充要条件是AO⊥BO，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0…①
由

y=kx+1 3x2-y2=1

消去y得   （3-k²）x²-2kx-2=0…②∴

x1+x2= 2k 3-k2 x1x2=- 2 3-k2

将其代入①得

-2(k2+1)

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0，解得k=1或k=-1．
当k=1时，方程②为2x²-2x-2=0，有两个不等实根；
当k=-1时，方程②为x²+x-1=0，有两个不等实根．
故当k=1或k=-1时，以AB为直径的圆恰好过原点O．
（2）若A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1）关于直线y=2x对称，
则

k=- 1 2 (kx1+1)+(kx2+1)=2(x1+x2)

将④整理得（k-2）（x₁+x₂）+2=0．
因为x1+x2=

2k

2-k2

，所以

2k(k-2)

3-k2

+2=0，解之，得k=

3

2

．这个结果与③矛盾．
故不存在这样的k，使两点A、B关于直线y=2x对称．

点评：本题考查了圆与双曲线得位置关系，以及存在性问题，有一定的难度．