Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4

3

，AB=2CD=8．
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（I）利用勾股定理的逆定理和面面的判定与性质定理、线面的判定定理即可证明；
（II）利用线面垂直的判定找出四棱锥的高，利用体积计算公式即可得出．

解答：（Ⅰ）证明：在△ABD中，∵AD=4，BD=4

3

，AB=8，AD²+BD²=AB²．            
∴AD⊥BD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P-ABCD的高．
又∵△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO=

3

2

×4=2

3

=h．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为

4×4 3

8

=2

3

，此即为梯形ABCD的高．
∴梯形ABCD的面积S_ABCD=

4+8

2

×2

3

=12

3

．
故VP-ABCD=

1

3

×SABCD×h=

1

3

×12

3

×2

3

=24．

点评：熟练掌握勾股定理的逆定理和面面的判定与性质定理、线面的判定定理、四棱锥体积计算公式是解题的关键．