Question

【题目】如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．

（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线C的准线方程为 ，

∴|MF|=m+ =4，

由M（4，m）在椭圆上，

∴16=2pm，

∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，

∴抛物线C的标准方程为x2=8y

（2）解：设EA：x=ky﹣1，联立 ，消去x得：k2y2﹣（2k+8）y+1=0，

∵EA与C相切，

∴△=（2k+8）2﹣4k2=0，解得k=﹣2，

∴ ，求得 ，

设EB：x=ty﹣1，联立 ，消去x得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，

∵EB与圆F相切，

∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，即 ，

∴ ，求得 ，

∴直线AB的斜率 ，

可得直线AB的方程为 ，经过焦点F（0，2）

【解析】1、利用抛物线的定义可得m+ =4,点M（4，m）在椭圆上，所以16=2pm，即可求出p=4，进而得到抛物线C的标准方程为x2=8y。
2、首先联立直线与抛物线的方程，根据题意令△=0，求得k=﹣2，即得点A的坐标；同理可得点B的坐标，进而得到直线AB的斜率 k AB的值，从而求出直线的方程，并可判断其经过焦点F（0，2）。