Question

8．在△ABC中，已知A=45°，b=1，且△ABC仅有一个解，则a的取值范围是a≥1或$a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 若已知三角形的两边和其中一边的对角，要求该三角形的形状大小唯一确定，则该三角形是直角三角形或钝角三角形，根据勾股定理确定BC的长，再进一步确定钝角三角形时的取值范围．

解答 解：已知在△ABC中A=45°，b=1，要使△ABC的解有且仅有一个，即三角形形状唯一，
有两种情况：①△ABC为直角三角形；②△ABC为钝角三角形；
若△ABC为直角三角形，∠B=90°，可得c⊥a，此时a=cos45°×1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
若三角形为钝角三角形；可得a≥1；
综上：a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a≥1；
故答案为：a≥1或$a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 此题要注意：已知三角形的两边和其中一边的对角，要使该三角形的形状大小唯一确定，则该三角形是直角三角形或钝角三角形．