Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如下图）.

（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；

（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值.

（3）当f(x)取得最大值时，求二面角D—BF—C的大小.

Answer 1

解析：在翻折的过程中完成平面图形向空间结构的转化，动态地考查考生空间想象能力，在题型设计方面改变传统立体几何问题的设问方式，把立体几何与函数知识整合在一起，使试题出现新的亮点.

∴平面AEFD⊥平面EBCF，AE⊥EF，

∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE.

    又BE⊥EF，故可建立空间坐标系Exyz.

    则A（0，0，2）、B（2，0，0）、G（2，2，0）、D（0，2，2）、E（0，0，0）,

（1）=（-2，2，2），=（2，2，0），

·=（-2，2，2）·（2，2，0）=0，

∴BD⊥EG.

（2）∴AD∥面BFC，f(x)=V_A-BFC=S_△BFC·AE=××4×（4-x）×x=-（x-2）²+，即x=2时，f(x)有最大值为.

（3）设平面DBF的法向量为n₁=(x,y,z),

∴AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0），

∴=（-2，3，0），=（-2，2，2），

    则

    即

    取x=3,则y=2,z=1,

∴n₁=（3，2，1）.

    面BCF的一个法向量为n₂=（0，0，1），

    则cos〈n₁,n₂〉=，

    二面角D—BF—C的平面角为π=-arccos.