Question

设函数y=f（x）是定义在R上的增函数，且f（x）≠0，对于任意x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
（1）求证：f（x）＞0；
（2）若f（1）=2，解不等式f（3x）＞4f（x）

Answer 1

分析：（1）观察题设中的条件发现如果令x1=x2=

x

2

，则可直接得到f(x)=f2(

x

2

)再结合y=f（x）定义域上恒不为零即可得到所证的结果．
（2）由f（1）=2，结合f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）可以得到4f（x）=f（x+2），由题设知函数y=f（x）是定义在R上的增函数
可将不等式f（3x）＞4f（x）变为3x＞2+x，由此可以解出不等式的解集．

解答：解：（1）证明：令x1=x2=

x

2

，
则f(x)=f(

x

2

)•f(

x

2

)=f2(

x

2

)，
∵f(

x

2

)≠0，
∴f2(

x

2

)＞0，则f（x）＞0．

（2）解：∵f（1）=2，
∴2f（x）=f（1）•f（x）=f（1+x），4f（x）=2•2f（x）=f（1）•f（x+1）=f（x+2）
∴f（3x）＞4f（x）可以变为f（3x）＞f（2+x）
又f（x）在定义域R上是增函数，
∴3x＞2+x
∴x＞1，
故不等式f（3x）＞4f（x）的解集为{x|x＞1}

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查通过灵活赋值构造出可以证明结论的形式来证明命题，以及通过所给的函数的性质将不等式化简，以达到利用函数的单调性解抽象不等式的目的，抽象不等式的求解一般都循着这样的一个思路．题后应好好总结本题的解题规律．