Question

已知点P在椭圆

x2

49

+

y2

24

=1上，F₁、F₂是椭圆的焦点，且PF₁⊥PF₂，求
（1）|PF₁|•|PF₂|
（2）△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的方程，算出a=5且焦距|F₁F₂|=2c=10．设|PF₁|=m，|PF₂|=n，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF₁|•|PF₂|=48；
（2）根据（1）的结论，结合直角三角形的面积公式，可得△PF₁F₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=24，得到本题答案．

解答：解：（1）∵椭圆方程为

x2

49

+

y2

24

=1，
∴a²=49，b²=24，可得c²=a²-b²=25，即a=7，c=5
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则有

m+n=2a=14-----(1) m2+n2=(2c)2=100--(2)

由（1）²-（2），得2mn=96，即mn=48，
∴|PF₁|•|PF₂|=48
（2）由（1），可得|PF₁|•|PF₂|=48，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°
∴△PF₁F₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=

1

2

×48=24．

点评：本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识，属于基础题．