Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ．

（1）求证：AB⊥PC；
（2）求二面角B一PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB的中点O，连接PO，CO，AC，

∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB

又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，

∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB

又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，

又PC平面PCO，∴AB⊥PC

（2）解：∵ABCD为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ，

∴PO=1，CO= ，∴OP2+OC2=PC2，

∴OP⊥OC，

以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，

建立空间直角坐标系，

则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（ ，0，0），

P（0，0，1），D（ ，﹣2，0），

=（ ，﹣1，0）， =（ ，0，-1）， =（0，2，0），

设平面DCP的法向量 =（x，y，z），

则 ，令x=1，得 =（1，0， ），

设平面PCB的法向量 =（a，b，c），

，令a=1，得 =（1， ， ），

cos＜ ＞= = ，

∵二面角B一PC﹣D为钝角，∴二面角B一PC﹣D的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）取AB的中点O，连接PO，CO，AC，由已知条件推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．（2）由已知得OP⊥OC，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B一PC﹣D的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的空间中直线与直线之间的位置关系，需要了解相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能得出正确答案．