Question

△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，M是AB的中点．将△ACM沿CM折起，使A，B两点间的距离为 2，此时三棱锥A-BCM的体积等于________．

Answer 1

分析：先在原图中作AD⊥MC交MC于点D，交BC于E点，将△ACM沿CM折起后，只要证明AE⊥底面BCM即可．
解答：解：由已知得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=2，
由△AMC为等边三角形，取CM中点，则AD⊥CM，AD交BC于E，则AD=，DE=，
CE=．
折起后，由BC²=AC²+AB²，知∠BAC=90°，
又cos∠ECA=．∴AE²=CA²+CE²-2CA•CEcos∠ECA=，于是AC²=AE²+CE²．?∠AEC=90°．
∵AD²=AE²+ED²，?AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A-BCM的高，AE=．
∴S_△BCM=，
V_A-BCM=．
故答案为．
点评：本题考查由平面图形折成空间图形求其体积，求此三棱锥的高是解决问题的关键．本题还可以直接过点A作AE⊥BC交BC于E点，连接ME，证明AE⊥ME，即可说明AE⊥底面BCM．