Question

在等比数列{a_n}中，首项为a₁，公比为q，S_n表示其前n项和．
（I）记S_n=A，S_2n-S_n=B，S_3n-S_2n=C，证明A，B，C成等比数列；
（II）若a1=a∈[

1

2010

，

1

1949

]，

S6

S3

=9，记数列{log₂a_n}的前n项和为T_n，当n取何值时，T_n有最小值．

Answer 1

分析：（ I）A=

a1(1-qn)

1-q

，B=

an+1(1-qn)

1-q

，C=

a2n+1(1-qn)

1-q

．故

B

A

=

an+1

a1

=qn，

C

B

=

a2n+1

an+1

=

an+1qn

an+1

=qn．所以A，B，C成等比数列；
（II）若q=1，则

S6

S3

=

6a1

3a1

=2≠9，与题设矛盾；若q≠1，则

S6

S3

=

a1(1-q6)

a1(1-q3)

=1+q3，故有1+q³=9，解得q=2．
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．由此入手能够推导出当n=11时，T_n有最小值．

解答：解：（ I）当q=1时，A=na₁，B=2na₁-na₁=na₁，
C=3na₁-2na₁=na₁，可见A，B，C成等比数列；（2分）
当q≠1时，A=

a1(1-qn)

1-q

，B=

an+1(1-qn)

1-q

，
C=

a2n+1(1-qn)

1-q

．故有

B

A

=

an+1

a1

=qn
，

C

B

=

a2n+1

an+1

=

an+1qn

an+1

=qn．
可得

B

A

=

C

B

，这说明A，B，C成等比数列．
综上，A，B，C成等比数列；（6分）

（II）若q=1，则

S6

S3

=

6a1

3a1

=2≠9，
与题设矛盾，此情况不存在；
若q≠1，则

S6

S3

=

a1(1-q6)

a1(1-q3)

=1+q3，
故有1+q³=9，解得q=2． （8分）
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．
所以数列{log₂a_n}是以log₂a为首项，1为公差的等差数列．
令log₂a_n≤0，即n-1+log₂a≤0?n≤1-log₂a．
因为a∈[

1

2010

，

1

1949

]，
所以log₂a∈[-log₂2010，-log₂1949]，（10分）
即得1-log₂a∈[1+log₂1949，1+log₂2010]，
可知满足log₂a_n≤0的最大的n值为11．
所以，数列{log₂a_n}的前11项均为负值，
从第12项开始都是正数．因此，当n=11时，T_n有最小值． （12分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．