Question

在△ABC中，cosA=

4 17

17

，tanB=

3

5

．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC最大边的边长为

17

，求最小边的边长．

Answer 1

分析：（1）由cosA的值和角A的范围，求出sinA的值，进而求出tanA的值，再由tanB的值，利用C=π-（A+B），根据诱导公式及两角和的正切函数公式化简后，将tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数；
（2）根据（1）求出的角C的度数为钝角，由大边对大角得到AB边最大，然后根据tanA和tanB值的大小根据正切函数为单调增函数判断得到角A最小，进而得到BC为最短边，由sinA，AB及sinC的值，利用正弦定理即可求出BC的长．

解答：解：（1）∵cosA=

4 17

17

，∴sinA=

17

17

，
则tanA=

1

4

，又tanB=

3

5

，
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）
=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 4 + 3 5

1- 1 4 × 3 5

=-1，
又∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

；
（2）∵C=

3π

4

，∴AB边最大，即AB=

17

．又tanA＜tanB，且A，B∈（0，

π

2

），
∴角A最小，BC边为最小边．
∵sinA=

17

17

，AB=

17

，sinC=sin

3π

4

=

2

2

，
由

AB

sinC

=

BC

sinA

得：BC=AB•

sinA

sinC

=

2

，
所以最小边BC=

2

．

点评：此题综合考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式及两角和的正切函数公式，以及正弦定理．根据大角对大边，小角对小边判断出AB边最大，BC边最小是解本题第二问的关键．