Question

△ABC中，锐角A的对边长等于2，向量

m

=（1，

3

（2cos²A-1）），向量

n

=（-1，sin2A）．
（Ⅰ）若向量

m

∥

n

，求锐角A的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据

m

∥

n

，利用两向量的坐标以及平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求出锐角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

∥

n

，
∴sin2A+

3

cos2A=0，
即2（

1

2

sin2A+

3

2

cos2A）=sin（2A+

π

3

）=0，
∵A为锐角，
∴2A+

π

3

=π，即A=

π

3

；
（Ⅱ）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
由余弦定理，得 b²+c²-a²=2bccosA，
即bc+4=b²+c²≥2bc，
所以bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，
又S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

，
当且仅当a=b=c=2时，△ABC的面积最大为

3

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．