Question

17．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=6，点（a_n-a_n-1，a_n+1）在函数f（x）=4x的图象上
（1）求证：数列{a_n+1-2a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜（n-1）•2ⁿ⁺¹+2；
（3）若C_n=3ⁿ-λ•（-1）ⁿ•$\frac{a_n}{{n-\frac{1}{2}}}$，（n∈N^*，λ为非零实数），对任意n∈N^*，C_n+1＞C_n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意得a_n+1=4（a_n-a_n-1），从而可得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），从而判断数列{a_n+1-2a_n}是以4为首项，2为公比的等比数列；则a_n+1-2a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，化简$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，从而可得a_n=（2n-1）2^n-1；
（2）化简S_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）2^n-1，从而可得S_n=（2n-3）2ⁿ+3，从而证明即可；
（3）化简可得2•3ⁿ+3λ（-1）ⁿ•2ⁿ＞0，分当n为偶数时与当n为奇数时讨论实数λ的取值范围即可．

解答 解：（1）∵点（a_n-a_n-1，a_n+1）在函数f（x）=4x的图象上，
∴a_n+1=4（a_n-a_n-1），
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
又∵a₂-2a₁=6-2=4，
∴$\frac{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}{{a}_{n}-2{a}_{n-1}}$=2，
∴数列{a_n+1-2a_n}是以4为首项，2为公比的等比数列；
故a_n+1-2a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹；
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1；
故{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，1为公差的等差数列；
∴a_n=（2n-1）2^n-1；
（2）证明：S_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）2^n-1①，
2S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ②，
①-②得，
-S_n=1+2（2+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ
=（3-2n）2ⁿ-3，
故S_n=（2n-3）2ⁿ+3，
S_n=（2n-3）2ⁿ+3=（2n-2）2ⁿ-2ⁿ+3
=（n-1）2ⁿ⁺¹+2+（1-2ⁿ）
＜（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
（3）C_n=3ⁿ-λ•（-1）ⁿ•$\frac{a_n}{{n-\frac{1}{2}}}$=3ⁿ-λ•（-1）ⁿ•2ⁿ；
∵对任意n∈N^*，C_n+1＞C_n恒成立，
∴3ⁿ⁺¹-λ•（-1）ⁿ⁺¹•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ-λ•（-1）ⁿ•2ⁿ，
∴2•3ⁿ+3λ（-1）ⁿ•2ⁿ＞0，
当n为偶数时，2•3ⁿ+3λ•2ⁿ＞0，∴λ＞-$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，故λ＞-$\frac{3}{2}$；
当n为奇数时，2•3ⁿ-3λ•2ⁿ＞0，∴λ＜$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，故λ＜1；
∴实数λ的取值范围为（-$\frac{3}{2}$，0）∪（0，1）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用及数列前n项和的求法及不等式的证明，属于难题．