Question

8．数列{a_n}满足a₁=3，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{5{a_n}+1}}$（n∈N^*），则a₂=$\frac{3}{16}$．a_n=$\frac{3}{15n-14}$．

Answer 1

分析 将${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{5{a_n}+1}}$（n∈N^*），两边取倒数得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=5，得出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，先求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式，再求a₂，a_n

解答 解：将${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{5{a_n}+1}}$（n∈N^*），两边取倒数得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=5，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+（n-1）×5=$\frac{15n-14}{3}$，
a_n=$\frac{3}{15n-14}$，
可得a₂=$\frac{3}{16}$，a_n=$\frac{3}{15n-14}$
故答案为：$\frac{3}{16}；\frac{3}{15n-14}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的判定、通项公式求解．考查转化构造、计算能力．