Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a•cos²$\frac{C}{2}+c•{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}$b．
（1）求证：2b=a+c；
（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角的余弦公式的变形化简式子，利用正弦定理化为关于角的正弦的式子，利用两角和的正弦公式和内角和定理化简，利用正弦定理转化为边即可得到结论；
（2）由条件和余弦定理列出方程，利用（1）的结论进行化简求出ac的值，代入三角形的面积公式求解即可．

解答 证明：（1）由题意得，acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=a•$\frac{1+cosC}{2}$+c•$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3}{2}$b，
即a（1+cos C）+c（1+cos A）=3b．
由正弦定理得：sin A+sin Acos C+sin C+cos Asin C=3sin B，
即sin A+sin C+sin（A+C）=3sin B，
∴sin A+sin C=2sin B．
由正弦定理得，a+c=2b．（5分）
解：（2）由∠B=60°，b=4及余弦定理得：
4²=a²+c²-2accos 60°，
∴（a+c）²-3ac=16，
又由（1）知a+c=2b，代入上式得4b²-3ac=16，解得ac=16，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsin B=$\frac{1}{2}$acsin 60°=4$\sqrt{3}$（10分）

点评 本题考查正弦、余弦定理，二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式和内角和定理，以三角形的面积公式，考查整体代换和转化思想，属于中档题．