Question

15．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（-1，4），B（-2，-1），C（2，3）．
（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标
（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程；
（3）求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）设AC的中点为M，则由M为AC的中点求得M（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，求得D的坐标．
（2）求得直线CD的斜率K_CD，可得CD边上的高线所在直线的斜率为$-\frac{1}{5}$，从而在△ACD中，求得CD边上的高线所在直线的方程0．
（3）求得$|CD|=\sqrt{{{（2-3）}^2}+{{（3-8）}^2}}=\sqrt{26}$，用两点式求得直线CD的方程，利用点到直线的距离公式求得点A到直线CD的距离，可得△ACD的面积．

解答 解：（1）由于平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（-1，4），B（-2，-1），C（2，3），
设AC的中点为M，则M（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），
设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，有$\left\{\begin{array}{l}\frac{-2+x}{2}=\;\frac{1}{2}\\ \frac{-1+y}{2}=\frac{7}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=8\end{array}\right.$，所以，D（3，8）．
（2）∵直线CD的斜率K_CD=$\frac{8-3}{3-2}$=5，所以CD边上的高线所在直线的斜率为$-\frac{1}{5}$，
故△ACD中，CD边上的高线所在直线的方程为$y-4=-\frac{1}{5}（x+1）$，即为x+5y-19=0．
（3）∵C（2，3），D（3，8），∴$|CD|=\sqrt{{{（2-3）}^2}+{{（3-8）}^2}}=\sqrt{26}$，
由C，D两点得直线CD的方程为：5x-y-7=0，∴点A到直线CD的距离为$\frac{|-5-4-7|}{\sqrt{26}}$=$\frac{16}{\sqrt{26}}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|CD|•d（A，CD）=\frac{1}{2}•\sqrt{26}•\frac{16}{{\sqrt{26}}}=8$．

点评 本题主要考查直线的斜率公式，两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，点到直线的距离公式，属于基础题．