Question

5．函数f（x）=log_a（x³-3ax）（a＞0，a≠1）在区间（-$\sqrt{2}$，-1）内单调递减，a的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． [$\frac{2}{3}$，1）
• D． [$\frac{2}{3}$，1）∪[2，+∞）

Answer 1

分析 将函数看作是复合函数，令g（x）=x³-3ax，先求出函数的定义域，用导数来判断其单调性，再由复合函数“同增异减”求得结果．

解答 解：令t=g（x）=x³-3ax，则g（x）＞0．得到 x∈（-$\sqrt{3a}$，0）∪（ $\sqrt{3a}$，+∞），
由于g′（x）=3x²-3a，故x∈（-$\sqrt{a}$，0）时，g（x）单调递减，?
x∈（-$\sqrt{3a}$，-$\sqrt{a}$）或x∈（$\sqrt{3a}$，+∞）时，g（x）单调递增．?
∴当a＞1时，函数y=log_at为增函数，
函数f（x）减区间为（-$\sqrt{a}$，0），
此时-$\sqrt{a}$≤-$\sqrt{2}$，得a≥2，
当0＜a＜1时，函数y=log_at为减函数，
则f（x）的增区间为（-$\sqrt{3a}$，-$\sqrt{a}$），
∵f（x）在区间（-$\sqrt{2}$，-1）内单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3a}≤-\sqrt{2}}\\{-\sqrt{a}≥-1}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{2}{3}}\\{0≤a≤1}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，解得$\frac{2}{3}$≤a＜1，
综上，a∈[$\frac{2}{3}$，1）∪[2，+∞）．
故选：D．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域，根据导数研究函数的单调性是解决本题的关键．属于中档题．