Question

13．函数f（x）=-9x²+（24+m）x+11，集合M={t|t²+20t-156≤0}，对任意m∈M，都有 f（x）≥0成立，则实数x的取值范围是[$-\frac{1}{3}$，1]．

Answer 1

分析 化简集合M，令g（m）=mx-9x²+24x+11，由题意可得，对任意m∈M，都有g（m）≥0成立，即为g（m）≥0在[-26，6]上恒成立则g（-26）≥0，且g（6）≥0，由二次不等式的解法，即可得到x的范围．

解答 解：集合M={t|t²+20t-156≤0}
={t|-26≤t≤6}，
令g（m）=mx-9x²+24x+11，
由题意可得，对任意m∈M，都有g（m）≥0成立，
即为g（m）≥0在[-26，6]上恒成立，
则g（-26）≥0，且g（6）≥0，
即为-9x²+（24-26）x+11≥0，且-9x²+（24+6）x+11≥0，
即有$-\frac{11}{9}$≤x≤1且$-\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{11}{3}$，
所以$-\frac{1}{3}$≤x≤1，
故实数x的取值范围为[$-\frac{1}{3}$，1]．
故答案为：[$-\frac{1}{3}$，1]．

点评 此题是典型的不等式恒成立问题．构造一次函数，并利用其单调性，是解题的关键．