Question

20．设非零向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{5π}{6}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|，则$\frac{|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$（t∈R）的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 由已知利用模的等式两边平方得到|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，将所求平方利用此关系得到关于t的二次函数解析式，然后求最小值

解答 解：因为非零向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{5π}{6}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|，
所以|$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²，所以|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，
则（$\frac{|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$）²=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}$=t²-t+$\frac{1}{3}$=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{12}$，
所以当t=$\frac{1}{2}$时，则$\frac{|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最小值为$\sqrt{\frac{1}{12}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了向量的数量积公式的运用以及向量的平方与模的平方相等的运用，关键是将所求转化为关于t 的二次函数求最值．属于中档题．