Question

14．已知sinθ、cosθ是$2{x^2}-（{\sqrt{3}+1}）x+m=0$的两根，且$θ∈（{0\;，\frac{π}{2}}）$
（1）求m；
（2）求θ．

Answer 1

分析 （1）根据题意利用韦达定理列出关系式，结合完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，即可求出m的值；
（2）把m的值代入计算求出sinθ与cosθ的值，即可确定出θ的度数．

解答 解：（1）∵sinθ、cosθ为方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+m=0的两根，
∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sinθcosθ=$\frac{m}{2}$，
∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
∴$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$=1+m，
解得：m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sinθcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，且θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=$\frac{1}{2}$或sinθ=$\frac{1}{2}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{6}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．