Question

已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0，及点Q（-2，3，），
（1）P（a，a+1）在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
（2）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）若实数m，n满足m²+n²-4m-14n+45=0，求K=

n-3

m+2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）将P的坐标代入圆的方程求得a，则P的坐标可得，进而利用两点间的距离公式求得PQ的长，利用P，Q的坐标求得直线PQ的斜率．
（2）先把圆的方程整理成标准方程，求得圆心的坐标的半径，进而利用两点间的距离公式求得QC的长，利用|QC|-R≤|MQ|≤|QC|+R求得MQ的范围．
（3）K=

n-3

m+2

表示圆上点与Q（-2，3，）的斜率，把问题转化为求得斜率的最值，先求得直线与圆斜切的时的k的值，利用圆心到直线的距离为半径的方法求得相切时k的值，进而推断出斜率的范围．

解答：解（1）将P（a，a+1）代入C：x²+y²-4x-14y+45=0，中得a=4
所以p（4，5），|PQ|=

(4+2)2+(5-3)2

=2

10

，kpQ=

5-3

4-(-2)

=

1

3

（2）将圆C：x²+y²-4x-14y+45=0，转化为标准形式(x-2)2+(y-7)2=(2

2

)2
圆心C（2，7）|QC|-R≤|MQ|≤|QC|+R，因为|QC|=4

2

，所以2

2

≤|MQ|≤6

2

所以|MQ|最小值为2

2

，最大值为6

2

（3）根据题意，实数m，n满足m²+n²-4m-14n+45=0，即满足(m-2)2+(n-7)2=(2

2

)2，
则（m，n）对应的点在以（2，7）为圆心，半径为2

2

的圆上，
分析可得K=

n-3

m+2

表示该圆上的任意一点与Q（-2，3，）相连所得直线的斜率，
设该直线斜率为k，则其方程为y-3=k（x+2），
又由d=

|2k-7+2k+3|

k2+1

=2

2

，
解得k=2±

3，

即2-

3

≤K≤2+

3

所以K=

n-3

m+2

的最小值：2-

3

和最大值：2+

3

点评：本题主要考查了直线与圆的方程的综合．考查了学生数形结合的思想，函数的思想，转化和化归的思想的运用．