Question

12．设数列{a_n}满足a₁=2，a_m+n+a_m-n-m+n=$\frac{1}{2}$（a_2m+a_2n），其中m，n∈N，m≥n．
（1）证明：对一切n∈N，都有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（2）证明：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）根据数列递推式，利用赋值法，可得a₂，根据数列递推式，令m=n+2，进而可得a_n+2=2a_n+1-a_n+2；
（2）确定数列{a_n}的通项，运用裂项相消求出数列的和，再进行放缩，即可证得结论．

解答 （1）证明：令m=n，可得a₀=0；令n=0，可得a_2m=4a_m-2m，
令m=1，可得a₂=4a₁-2=6；
令m=n+2，则a_2n+2+a₂-2=$\frac{1}{2}$（a_2n+4+a_2n），
∵a_2m=4a_m-2m，
∴a_2n+1=4a_n+1-2（n+1），a_2n+4=4a_n+2-2（n+2），a_2n=4a_n-2n
∴a_n+2=2a_n+1-a_n+2；
（2）证明：由（1）知（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n+1-b_n=2
∴数列{b_n}为首项为a₂-a₁=4，公差为2的等差数列，
b_n=2n+2，
则a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+4+6+…+2n=n（n+1），
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$＜1．

点评 点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确确定数列的通项，利用裂项相消求和及放缩法是解题的关键．