Question

17．设数列{a_n}的前n项的和为S_n，且$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是等差数列，已知a₁=1，$\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+\frac{S_4}{4}$=12．
（Ⅰ）求$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）当n≥2时，a_n+1+$\frac{λ}{a_n}$≥λ恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差中项可知3•$\frac{{S}_{3}}{3}$=12即$\frac{{S}_{3}}{3}$=4，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$可知S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，利用a_n=S_n-S_n-1计算即得结论；
（Ⅲ）通过a_n=3n-2，问题转化为求b_n=$\frac{（3n+1）（3n-2）}{3（n-1）}$的最小值，利用作差法可知b_n+1＞b_n，进而计算可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，∴$\frac{{S}_{1}}{1}$=1，
又∵$\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+\frac{S_4}{4}$=12，
∴3•$\frac{{S}_{3}}{3}$=12，即$\frac{{S}_{3}}{3}$=4，
∴公差d=$\frac{1}{2}$（$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{1}}{1}$）=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n，
∴a_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n）-[$\frac{3}{2}$（n-1）²-$\frac{1}{2}$（n-1）]
=3n-2（n≥2），
又∵a₁=1满足上式，
∴a_n=3n-2；
（Ⅲ）∵a_n=3n-2，
∴a_n+1+$\frac{λ}{a_n}$≥λ恒成立等价于3n+1+$\frac{λ}{3n-2}$≥λ，
即λ≤$\frac{（3n+1）（3n-2）}{3（n-1）}$，
记b_n=$\frac{（3n+1）（3n-2）}{3（n-1）}$，
∵b_n+1-b_n=$\frac{（3n+1）（3n+4）}{3n}$-$\frac{（3n+1）（3n-2）}{3（n-1）}$=$\frac{（3n+1）（3n-2）}{3n（n-1）}$＞0，
∴数列{b_n}的最小值为b₂=$\frac{28}{3}$，
∴$λ≤\frac{28}{3}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．